Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Für die Bedeutung von Einheitswurzel in der Zeitreihenanalyse siehe Einheitswurzel (Zeitreihenanalyse) In der Algebra werden Zahlen, deren n-te Potenz die Zahl 1 ergibt, n-te Einheitswurzeln genannt. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen 2.1 Geometrischer Bezug 2.2 Summe der Einheitswurzeln 2.3 Beispiele 2.3.1 Die zweiten, dritten und vierten Einheitswurzeln 2.3.2 Die fünften Einheitswurzeln 3 Eigenschaften der Einheitswurzeln 3.1 Einheitswurzeln in Körpern 3.2 Einheitswurzeln in Restklassenringen // Bearbeiten Definition Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und eine natürliche Zahl. Ein Element heißt eine n-te Einheitswurzel, wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt: ζn = 1; ζ ist Nullstelle des Polynoms Xn − 1. Die n-ten Einheitswurzeln in R bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe , die oft mit μn(R) bezeichnet wird. Eine n-te Einheitswurzel ζ heißt primitiv, falls für gilt. Bearbeiten Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen Im Körper der komplexen Zahlen sind die n-ten Einheitswurzeln. Setzt man , so ist ζn primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt . Ist klar, um welches n es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen. Die n-te Wurzel ζk ist genau dann primitiv, wenn k und n teilerfremd sind. Bearbeiten Geometrischer Bezug Die n-ten Einheitswurzeln lassen sich in der komplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, wobei eine der Ecken die Zahl 1 ist, denn diese ist für jedes eine n-te Einheitswurzel. Realteil und Imaginärteil der Einheitswurzeln sind damit die Koordinaten der Ecken des n-Ecks auf dem Kreis, d.h. für ist    und   . Mehr siehe unter Radizieren komplexer Zahlen. Bearbeiten Summe der Einheitswurzeln Ist ζ eine n-te Einheitswurzel, so gilt Diese Aussage folgt unmittelbar aus der geometrischen Summenformel und ist ein Spezialfall der analogen Aussage für Charaktere von Gruppen. Die dritten Einheitswurzeln Die Funktion x3-1 Die Funktion x5-1 Bearbeiten Beispiele Bearbeiten Die zweiten, dritten und vierten Einheitswurzeln Die zweiten Einheitswurzeln sind ; die dritten Einheitswurzeln sind ; die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form: , wobei i die imaginäre Einheit ist. Bearbeiten Die fünften Einheitswurzeln Aus 0 = 1 + ζ + ζ2 + ζ3 + ζ4 folgt für . Lösen dieser quadratischen Gleichung liefert . Da der Winkel im 1. Quadranten liegt, ist w positiv, und damit ist der Realteil von ζ. Der Imaginärteil ist nach dem Satz des Pythagoras . Bearbeiten Eigenschaften der Einheitswurzeln Bearbeiten Einheitswurzeln in Körpern In einem Körper K bilden die n-ten Einheitswurzeln eine zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe . Ihre Anzahl ist stets ein Teiler von n. Ist sie gleich n, so sagt man, K „enthalte die n-ten Einheitswurzeln“. Enthält K die n-ten Einheitswurzeln, so ist eine Einheitswurzel genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln erzeugt. Die primitiven n-ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des n-ten Kreisteilungspolynoms. Erweiterungen von , die durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen, heißen Kreisteilungskörper. Bearbeiten Einheitswurzeln in Restklassenringen Im Ring der ganzen Zahlen modulo (2n + 1) ist die Zahl 2 eine primitive 2n-te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt 2n = − 1. Im Ring der ganzen Zahlen modulo (2n − 1) ist die Zahl 2 eine primitive n-te Einheitswurzel. Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für die Computeralgebra höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der schnellen diskreten Fouriertransformation. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl 2 eine zyklische binäre Shift-Operation bedeutet, was wesentlich schneller durchführbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich aus der Tatsache, dass während der FFT viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.