Als Fläche bezeichnet man in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Topologie eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Beispiele im 3-dimensionalen Raum gewinnt man, wenn man die Oberflächen von Vollkörpern betrachtet. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1.1 Flächen in der Topologie 1.2 Flächen in der Differentialgeometrie 2 Mathematische Attribute für unberandete Flächen 3 Beispiele 4 Siehe auch 5 Literatur Bearbeiten Definition Bildsynthese der Funktion Bearbeiten Flächen in der Topologie In der Topologie ist eine Fläche eine topologische 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Man kann sie deshalb wie folgt definieren: Eine Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur offenen Kreisscheibe oder zur abgeschlossenen Halbebene homöomorphe Umgebung besitzt. Eine alternative Definition, die auf die Fallunterscheidung verzichtet lautet: Eine Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur geschlossenen Kreisscheibe D2 homöomorphe Umgebung besitzt. Diejenigen Punkte, die eine zur offenen Kreisscheibe homöomorphe Umgebung besitzen, bezeichnet man als innere Punkte der Fläche und die anderen als Randpunkte. Die Menge der inneren Punkte bildet das Innere der Fläche, während die Menge der Randpunkte den Rand der Fläche bildet. Hat eine Fläche keine Randpunkte, so spricht man von einer unberandeten Fläche oder Fläche ohne Rand. Andernfalls nennt man die Fläche berandet oder Fläche mit Rand. Für unberandete Flächen verkürzt sich die obige Definition: Eine unberandete Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur offenen Kreisscheibe homöomorphe Umgebung besitzt. Bearbeiten Flächen in der Differentialgeometrie → Hauptartikel: Reguläre Fläche In der Differentialgeometrie ist eine Fläche eine zwei-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese Objekte erfüllen die hier gegebene Definition und haben zusätzlich noch eine differenzierbare Struktur. Diese Flächen werden reguläre Flächen genannt. Bearbeiten Mathematische Attribute für unberandete Flächen Eine Fläche ohne Randpunkte ist geschlossen, wenn sie den Kriterien eines kompakten Raumes entspricht. offen wenn sie diese Kriterien nicht erfüllt. Bearbeiten Beispiele Die bekannten Standardflächen in der Ebene, etwa Dreieck(-sfläche), Kreisscheibe, Halbebene; diese sind berandet oder unberandet im Sinne der obigen Definition je nachdem ob man die Randlinie hinzuzählt oder nicht. Oberflächen von Vollkörpern, etwa Polyeder, Kugel, Zylinder, Kegel, ebenso geeignete Teile hiervon, etwa nur der Mantel eines Zylinders. Das Möbiusband ist eine nicht orientierte Fläche. Die Kleinsche Flasche ist eine geschlossene Fläche, aber keine Oberfläche eines Vollkörpers und lässt sich noch nicht einmal in den dreidimensionalen Raum einbetten.  Commons: Fläche – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien Bearbeiten Siehe auch Geschlecht (Fläche) Riemannsche Fläche Abwickelbare Fläche Euler-Charakteristik Eulerscher Polyedersatz Fundamentalpolygon Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Literatur Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02226-5 William S. Massey: Algebraic Topology: An Introduction. 1. Auflage. Springer, Berlin 1967, ISBN 3-540-90271-6