Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung. Der Gini-Koeffizient oder auch Gini-Index ist ein statistisches Maß, das vom italienischen Statistiker Corrado Gini zur Darstellung von Ungleichverteilungen entwickelt wurde. Der Koeffizient kann beispielsweise als Kennzahl für die Ungleichverteilung von Einkommen oder Vermögen eingesetzt werden. Er wird besonders in der Wohlfahrtsökonomie und Informationstheorie verwendet. In der Informationstheorie wird er als Maß der "Reinheit" oder "Unreinheit" von Information verwendet. Gini-Koeffizienten können beliebige Werte zwischen 0 (das Vermögen eines Staates ist auf alle Bewohner gleichmäßig verteilt) und 1 (das gesamte Vermögen eines Staates gehört einem einzigen Bewohner) annehmen. Je näher der Gini-Koeffizient an 1 ist, desto größer ist die Ungleichheit (zum Beispiel einer Einkommensverteilung). In der Informationstheorie und im maschinellen Lernen entspricht ein Wert nahe 0 einer (mathematischen) Gleichverteilung der verschiedenen Werte, während ein Wert von 1 bedeutet, dass nur ein Wert angenommen wird. Anwendung des Ginikoeffizienten zur Bestimmung von Einkommensungleichheit < 0,25 0,25 – 0,29 0,30 – 0,34 0,35 – 0,39 0,40 – 0,44 0,45 – 0,49 0,50 – 0,54 0,55 – 0,59 > 0,60 unbekannt Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Beispiel zur Berechnung 3 Kritik 3.1 Datenreduktion 3.2 Fehlerquelle bei Vergleichen 4 Anwendung im Maschinellen Lernen 5 Veränderungen in verschiedenen Staaten 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 Einzelnachweise Bearbeiten Berechnung Der Gini-Koeffizient ist die auf die gleichverteilte Gesellschaft normierte Fläche zwischen den Lorenz-Kurven einer gleichverteilten und der beobachteten Gesellschaft. mit Ag der Fläche unter der Lorenz-Kurve einer gleichverteilten Gesellschaft (d. h. mit gleichem Einkommen, nicht mit einer Gleichverteilung über den möglichen Einkommen) und Aug der Fläche unter der Lorenz-Kurve für die beobachtete Gesellschaft. In der Informationstheorie verwendet man [1] oder auch wobei pi die relative Häufigkeit des Wertes i ist. Ist pi = 1 für ein i und 0 für alle anderen, so gilt gini = 1 bzw. gini' = 0 und man spricht von reiner Information. Ein Wert von 0 kann nur asymptotisch angenommen werden. Sind pi die Marktanteile von Firmen, so spricht man vom Herfindahl-Index. Der Zusammenhang zwischen den beiden Formeln ergibt sich daraus, dass man in der Informationstheorie mit diskreten Werten oder Klassen arbeitet, in der Volkswirtschaftlichen Anwendung hingegen mit einer Verteilungskurve arbeitet. Bearbeiten Beispiel zur Berechnung Ungleichverteilungskoeffizienten lassen sich nicht nur für Einkommensverteilungen, sondern auch für Vermögensverteilungen berechnen. Wie man die Ungleichverteilung berechnet, zeigt der folgende Beitrag anhand der Verteilung eines „Gesamtvermögens“ von etwa 10 Billionen Deutschen Mark in Deutschland (1995):[2] 50 Prozent der Bevölkerung (b1) besaßen 2,5 Prozent des Vermögens (v1). 40 Prozent der Bevölkerung (b2) besaßen 47,5 Prozent des Vermögens (v2). 9 Prozent der Bevölkerung (b3) besaßen 27,0 Prozent des Vermögens (v3). 1 Prozent der Bevölkerung (b4) besaß 23,0 Prozent des Vermögens (v4). In einem ersten Schritt werden die Daten „normalisiert“ dargestellt: b1 = 0,50 v1 = 0,025 v1/b1 = 0,05 b2 = 0,40 v2 = 0,475 v2/b2 = 1,188 b3 = 0,09 v3 = 0,270 v3/b3 = 3 b4 = 0,01 v4 = 0,230 v4/b4 = 23 Im zweiten Schritt wird der Gini-Koeffizient berechnet. Den Gini-Ungleichverteilungskoeffizient (GUK) erhält man durch Auswertung einer Lorenz-Kurve. Damit tatsächlich eine Lorenz-Kurve entsteht, müssen gegebenenfalls die obigen Werte umsortiert werden. Alle Werte-Paare (vi,bi) müssen zunächst so vorsortiert werden, dass gilt: Bei dem obigen Beispiel liegt schon die richtige Sortierung vor, so dass nicht umsortiert werden muss. Die gesuchte Lorenz-Kurve entsteht, wenn man (xi,yi)-Paare als Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem einträgt und anschließend benachbarte Punkte mit einer Geraden verbindet. Die (xi,yi)-Paare entstehen aus den (vi,bi)-Paaren nach folgender Rechenvorschrift: Im zweiten Schritt werden aus den Daten des ersten Schritts die nachfolgenden Daten durch Summation ermittelt (wobei am Anfang 1 fester Wert dazu kommt): x0 = 0,00 y0 = 0 x1 = 0,50 y1 = 0,025 x2 = 0,90 y2 = 0,5 (da 0,5 + 0,4 = 0,9 und 0,025 + 0,475 = 0,5 ist) x3 = 0,99 y3 = 0,77 x4 = 1,00 y4 = 1 Bei totaler Gleichverteilung des Vermögens ist die Lorenz-Kurve eine gerade Linie von Punkt (0|0) zu Punkt (1|1). Zur Bestimmung des Gini-Koeffizienten werden zuerst zwei Größen bestimmt, die graphisch betrachtet Flächen sind. Einmal die Fläche unter der Gleichverteilungslinie, nennen wir diese Größe beispielsweise A. Die zweite Fläche ist die Fläche unter der tatsächlichen Verteilungskurve, nennen wir diese Größe beispielsweise B. Mit diesen beiden Größen berechnet sich der Gini-Ungleichverteilungskoeffizient wie folgt: B ist die dunkelgraue Fläche; A setzt sich aus der hell- und der dunkelgrauen Fläche zusammen. Errechnen der y-Werte der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung: y0 = 0,000 y1 = v1 = 0,025 y2 = v1 + v2 = 0,500 y3 = v1 + v2 + v3 = 0,770 y4 = v1 + v2 + v3 + v4 = 1,000 Berechnung der Fläche B unter der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung (siehe unten): (y1 - 0,5 · v1) · b1 = 0,00625 (y2 - 0,5 · v2) · b2 = 0,105 (y3 - 0,5 · v3) · b3 = 0,05715 (y4 - 0,5 · v4) · b4 = 0,00885 B = 0,17725 Da eine normierte Darstellung verwendet wird, verbindet die Kurve der totalen Gleichverteilung die Eckpunkte (0|0) und (1|1) miteinander. Das Dreieck mit der Fläche A beträgt also 0,5. Darum gilt für den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten: [3] Graphisch betrachtet ist der Gini-Koeffizient das Verhältnis der Fläche zwischen Gleichverteilungslinie und Lorenzkurve (A-B) zur Fläche unterhalb der Gleichverteilungslinie (A). Erläuterung zur Berechnung Die gesamte Gini-Fläche ist ein Rechteck mit den Seiten v1 + v2 + v3 + v4 mal b1 + b2 + b3 + b4. Die ideale Gini-Fläche ist die Hälfte der gesamten Gini-Fläche. Zur Berechnung der Fläche unter der Kurve werden alle Einzelflächen addiert. Nehmen wir beispielsweise b2. Voll anzurechnen ist das Rechteck mit der Höhe y1 und der Breite b2 (d. h. von x1 bis x2). Von dem Rechteck, das von der Höhe y1 bis zur Höhe y2 geht, ist nur die Hälfte zu nehmen, da die andere Hälfte oberhalb der Ginilinie nicht zur Gini-Fläche gehört. Also ist die Fläche oder auch Fläche Bearbeiten Kritik Bearbeiten Datenreduktion Der Gini-Koeffizient ist ein statistisches Maß zur Berechnung der Ungleichheitsverteilung. Solche Maße reduzieren prinzipiell einen mehr oder minder komplexeren Datensatz auf eine einfache Kennzahl, die zu Missinterpretationen führen kann, wenn sie nicht sachgemäß verwendet wird. Das gilt nicht nur für die verschiedenen Ungleichheitskoeffizienten, sondern zum Beispiel auch für das Bruttosozialprodukt, bei dessen Berechnung die Information über die einzelnen Beiträge zum Bruttosozialprodukt verloren geht. Die mit aggregierten Maßen erfolgende Datenreduktion hat grundsätzlich Vor- und Nachteile, die bei der Auswertung beachtet werden müssen. Verschiedene Lorenzkurven - gleicher Gini-Koeffizient Im Fall des Gini-Koeffizienten gibt es beispielsweise zu jeder Lorenzkurve mindestens eine andere Lorenzkurve mit exakt dem gleichen Gini-Wert. Diese erhält man durch Spiegelung der ursprünglichen Lorenzkurve an der Senkrechten zur Winkelhalbierenden, die durch die Punkte (0,1) und (1,0) verläuft. Ein Beispiel: In einer Volkswirtschaft befindet sich 10 % des Eigentums in den Händen von 50 % der Bevölkerung, die restlichen 50 % besitzen die restlichen 90 % (jeweils in den Gruppen gleich verteilt). In einer anderen Volkswirtschaft besitzen 90 % der Bevölkerung 50 % des Eigentums, während eine Minderheit von 10 % die andere Hälfte des Eigentums beansprucht. Die beiden Lorenzkurven sind in der Abbildung dargestellt. Für die beiden unterschiedlichen Kurven ergibt sich ein gemeinsamer Gini-Koeffizient von 0,4.[4] Das liegt daran, dass ein Repräsentant des reicheren Teils der Bevölkerung in beiden Fällen das neunfache Eigentum eines Repräsentanten des ärmeren Teils der Bevölkerung besitzt. Tatsächlich gibt es zu einem Gini-Koeffizienten sogar unendlich viele mögliche Lorenzkurven. In diesem Punkt gleicht der Gini-Koeffizient jeder anderen Kennzahl, die aus der Akkumulation einer größeren Datenmenge abgeleitet ist. Ungleichverteilungskennzahlen wie der Gini-Koeffizient entstehen aus Aggregation von Daten mit der gezielten Absicht, Komplexität zu reduzieren. Der damit einhergehende Informationsverlust ist also keine unbeabsichtigte Nebenwirkung. Für Komplexitätsreduktionen gilt generell, dass sie erst dann zu einem Nachteil werden, wenn man ihr Zustandekommen und ihre Abbildungsfunktion vergisst. Siehe hierzu auch: Satz von Rothschild und Stiglitz Bearbeiten Fehlerquelle bei Vergleichen Aussagen, in denen Ungleichheitskoeffizienten miteinander verglichen werden, erfordern eine besonders kritische Überprüfung der Berechnung der einzelnen Koeffizienten. Für einen korrekten Vergleich ist es erforderlich, dass diese Koeffizienten in allen Fällen einheitlich berechnet wurden. Beispielsweise führt die unterschiedliche Granularität der Eingangsdaten zu unterschiedlichen Ergebnissen bei der Berechnung der Ungleichverteilung. Ein mit wenigen Quantilen berechneter Gini-Koeffizient zeigt in der Regel eine etwas geringere Ungleichverteilung an als ein mit mehr Quantilen berechneter Koeffizient, weil im letzteren Fall dank höherer Messauflösung die Ungleichverteilung berücksichtigt werden kann, die innerhalb der Bereiche (d. h. zwischen den Quantilen) im ersten Fall wegen der gröberen Messauflösung unausgewertet bleibt. Bearbeiten Anwendung im Maschinellen Lernen Beim Erzeugen eines Entscheidungsbaums kann der Gini-Index, genauer gesagt die Änderung des Gini-Index, auch "Gini Gain" genannt, als Kriterium verwendet werden, um diejenige Entscheidungsregel auszuwählen, bei der die Kindknoten möglichst "rein" werden.[1] Die Idee ist, dass bei einer "reinen" Entscheidung der Baum fertig ist, weshalb die Änderung des Gini-Index als Maß geeignet ist. Bearbeiten Veränderungen in verschiedenen Staaten Deutschland: „Zwischen 2001 und 2005 ist der Gini-Koeffizient von 0,27 auf 0,29 gestiegen. Damit hat die Ungleichheit das höchste Niveau seit Beginn der Datenerhebung 1984 erreicht.“[5] China: „Der Gini-Koeffizient der Weltbank, der die Ungleichheit in einem Land misst, hat sich in den vergangenen 30 Jahren auf 0,47 fast verdoppelt; ein Wert von mehr als 0,4 gilt als Anzeichen für die Gefahr sozialer Unruhen.“[6] Bearbeiten Siehe auch Liste der Länder nach Einkommensverteilung Liste der Länder nach Vermögensverteilung Bearbeiten Literatur Y. Amiel und Frank Cowell: Thinking about inequality, Cambridge, 1999. Deutsche Bundesbank: Do banks diversify loan portfolios?, 2005 (Anwendung u.A. des Gini-Koeffizienten bei der Risikobewertung von Kredit-Portefolios) C. Gini: Measurement of inequality of incomes, Economic Journal 31, 1921, 124–126. H. J. Ramser: Verteilungstheorie, Berlin, 1987. Amartya Sen: On Economic Inequality (Enlarged Edition with a substantial annexe “On Economic Inequality” after a Quarter Century with James Foster), Oxford 1997, ISBN 0-19-828193-5 Bearbeiten Weblinks Beschreibung anderer Ungleichverteilungskoeffizienten Travis Hale, University of Texas Inequality Project:The Theoretical Basics of Popular Inequality Measures (Theorie mit praktischen Beispielen), Beispiel 1B Human Development Report 2004 – Im Anhang („Human Development Indicators“) sind die Gini-Koeffizienten zahlreicher Länder aufgelistet. Rechner: on-line und downloadbare Skripte und Macros (für Python, Lua und OpenOffice.org 2.0 Calc) Nutzer der freien Datenanalyse-Software R können das Paket „ineq“ von Achim Zeileis installieren, welches eine Reihe von Ungleichheits-Indices berechnen kann (neben Gini auch Atkinson, Theils, RS u.a.m.) Bearbeiten Einzelnachweise ↑ a b Breiman, L. and Friedman, JH and Olshen, RA and Stone, CJ: Classification and regression trees. Chapman and Hall, New York 1984. ↑ SPD-Bundestagsfraktion, Bundestagsdrucksache 13/7828 ↑ On-Line-Rechner: Ungleichverteilung ↑ Vergleich: www.umverteilung.de/rechner/?quantiles=50,10|50,90 (blaue Kurve) und www.umverteilung.de/rechner/?quantiles=90,50|10,50 (rote Kurve) ↑ Moritz Koch: Einkommen in Deutschland – Der große Graben, in: Süddeutsche Zeitung vom 16. 07. 2006. ↑ faz.net: China: Kein Reich der Mitte, auf: faz.net vom 05. März 2011