Schema für eine allgemeine m×n-Matrix In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural: Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen bzw. mathematischen Objekten, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann (z. B. Matrix-Addition, Matrix-Multiplikation). Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben. Die Bezeichnung „Matrix“ wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt. Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von Elementen erfolgt in Zeilen und Spalten. Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe und erste Eigenschaften 2 Formale Darstellung 3 Addition und Multiplikation 3.1 Matrizenaddition 3.2 Skalarmultiplikation 3.3 Matrizenmultiplikation 3.4 Potenzieren von Matrizen 4 Weitere Rechenoperationen 4.1 Die transponierte Matrix 4.2 Inverse Matrix 4.3 Vektor-Vektor-Produkte (Skalarprodukt und Tensorprodukt) 5 Vektorräume von Matrizen 6 Anwendungen 6.1 Zusammenhang mit linearen Abbildungen 6.2 Umformen von Matrizengleichungen 7 Spezielle Matrizen 7.1 Eigenschaften von Endomorphismen 7.2 Eigenschaften von Bilinearformen 7.3 Weitere Konstruktionen 8 Verallgemeinerungen 9 Literatur 10 Weblinks // Bearbeiten Begriffe und erste Eigenschaften Notation Als Notation hat sich die Aneinanderreihung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen einer großen öffnenden und einer schließenden Klammer durchgesetzt. Die Form der Klammern ist nicht einheitlich festgelegt; es werden aber meist runde oder eckige Klammern verwendet. Beispielhaft stehen die Notationen und für eine Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten. Die Matrix an sich wird durch (manchmal fettgedruckte) Großbuchstaben, vorzugsweise A bezeichnet. Eine allgemeine Matrix mit endlich vielen Elementen könnte so aussehen: Elemente der Matrix Die Elemente der Matrix nennt man Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge K und man spricht von einer Matrix über K. Dies sind in der Regel Körper oder Ringe. Wählt man die Grundmenge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix beziehungsweise bei komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix. Einzelne Zeilen und Spalten werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel: , hier sind und die Spalten bzw. Spaltenvektoren und und die Zeilen bzw. Zeilenvektoren. Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, z. B. ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch a11 beschrieben. Allgemein bezeichnet aij das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Deshalb wird die gesamte Matrix manchmal mit (aij) bezeichnet. Typ Der Typ einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer m Zeilen und n Spalten. Man spricht dann von einer -Matrix (sprich: m mal n oder m Kreuz n Matrix). Die Menge der -Matrizen über K wird mit oder Km,n, manchmal auch mit bezeichnet. Bearbeiten Formale Darstellung Formal kann eine -Matrix als eine Familie oder als eine Funktion aufgefasst werden, die jedem Indexpaar (i,j) einen Funktionswert A(i,j) zuordnet. In den obigen Beispielmatrizen wird beispielsweise dem Indexpaar (1,2) der Funktionswert A(1,2) = a12 zugeordnet. Allgemein ist der Funktionswert A(i,j) der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Die Indizes m und n entsprechen wieder der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix durch Funktionen ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben. Die Menge aller -Matrizen über der Menge K wird in üblicher mathematischer Notation auch geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation eingebürgert (manchmal werden auch die Schreibweisen Km,n, , oder seltener benutzt). Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix. Hat eine Matrix nur eine Spalte, so nennt man sie einen Spaltenvektor; hat sie nur eine Zeile, so nennt man sie einen Zeilenvektor. Einen Vektor aus Kn kann man je nach Kontext als einzeilige oder einspaltige Matrix darstellen (also als Element aus oder ). Bearbeiten Addition und Multiplikation Auf dem Raum der Matrizen werden elementare Rechenoperationen definiert. Bearbeiten Matrizenaddition Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier -Matrizen berechnet sich, indem man jeweils die Einträge der beiden Matrizen addiert: Rechenbeispiel: In der linearen Algebra sind die Einträge der Matrizen üblicherweise Elemente eines Körpers, wie z. B. der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Einträge Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat. Bearbeiten Skalarmultiplikation Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem alle Einträge der Matrix mit dem Skalar multipliziert werden: Rechenbeispiel: Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar λ und die Einträge der Matrix demselben Ring entstammen. Die Menge der -Matrizen ist in diesem Fall ein (Links-)Modul über K. Bearbeiten Matrizenmultiplikation Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Das Produkt einer -Matrix und einer -Matrix ist eine -Matrix , deren Einträge berechnet werden, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird: Rechenbeispiel: Bei der Berechnung von Hand bietet das falksche Schema eine Hilfestellung. Bei der Berechnung mit dem Computer kann sich bei großen Matrizen der Einsatz des Strassen-Algorithmus lohnen. Die Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen gilt , sofern überhaupt beide Seiten definiert sind, was bedeutet, dass l = n gilt. Ist diese Bedingung erfüllt, dann sind die Produkte auf beiden Seiten der Gleichung quadratische Matrizen; diese sind aber nur vergleichbar, wenn sie "gleich groß" sind, d.h., gleich viele Zeilen und Spalten haben, also auch m = n gilt. Auch bei l = m = n sind aber die beiden Produkte im Allgemeinen verschieden. Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen: für alle -Matrizen A,B und -Matrizen C sowie für alle -Matrizen A und -Matrizen B,C. Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring R, also . Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring. Ist der Ring R unitär mit dem Eins-Element 1, dann ist die Einheitsmatrix das Eins-Element des Matrizenrings, d. h. dieser ist auch unitär. Allerdings ist der Matrizenring für n > 1 niemals kommutativ. Zerlegt man Matrizen in Blockmatrizen, so können diese komponentenweise ausmultipliziert werden: Hierbei ist E2 die -Einheitsmatrix. Mit 0 ist die jeweils passende Matrix gemeint, deren Komponenten alle 0 sind. Da die Matrix-Multiplikation assoziativ ist, kann eine Kette von Matrix-Multiplikationen unterschiedlich geklammert werden. Das Problem eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem. Bearbeiten Potenzieren von Matrizen Quadratische Matrizen können mit sich selbst multipliziert werden, analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz oder etc. ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynomen einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden. Quadratische Matrizen über oder kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential. Bearbeiten Weitere Rechenoperationen Bearbeiten Die transponierte Matrix Die Transponierte der Matrix vom Format ist die Matrix vom Format , das heißt zu ist die Transponierte Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte und die zweite Zeile als zweite Spalte usw. Die Matrix wird sozusagen an ihrer Hauptdiagonale mit gespiegelt. Beispiel: Es gelten die folgenden Rechenregeln: Die transponierte Matrix wird gelegentlich auch gestürzte Matrix genannt. Bei Matrizen über ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix. Bearbeiten Inverse Matrix → Hauptartikel: Inverse Matrix Für manche quadratische Matrizen A gibt es eine Matrix A − 1, für die gilt, wobei E die Einheitsmatrix ist. A − 1 heißt inverse Matrix von A. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Umgekehrt werden nicht-invertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet. Bearbeiten Vektor-Vektor-Produkte (Skalarprodukt und Tensorprodukt) Seien v und w zwei Spaltenvektoren der Länge n, so ist das Matrixprodukt nicht definiert. Die beiden Produkte und existieren jedoch. Das erste Produkt ist eine -Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das kanonische Skalarprodukt von v und w genannt und mit bzw. bezeichnet: Das zweite Produkt ist eine -Matrix vom Rang 1 und heißt Dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von v und w (geschrieben ): Bearbeiten Vektorräume von Matrizen Die -Matrizen über einem kommutativen Ring R mit 1 bilden mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation jeweils einen R-Modul. Die Spur des Matrixprodukts ist dann ein Skalarprodukt auf dem Matrizenraum. Im Spezialfall handelt es sich bei diesem Matrizenraum um einen euklidischen Vektorraum. In diesem Raum stehen die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Ist A eine symmetrische und B eine schiefsymmetrische Matrix, so gilt . Im Spezialfall ist die Spur des Matrixproduktes ein Skalarprodukt, das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt und der Matrizenraum wird zu einem unitären Vektorraum. Die Einheitsmatrix ist eine spezielle quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur 1 und sonst nur 0 als Einträge besitzt. Im Matrizenring repräsentiert sie das Einselement. Analog fungiert die Nullmatrix als Nullelement. Bearbeiten Anwendungen Bearbeiten Zusammenhang mit linearen Abbildungen Das Besondere an Matrizen über einem Ring K ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich Kn (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich Km definieren, indem man jeden Spaltenvektor auf abbildet; und jede lineare Abbildung mit diesem Definitions- und Wertebereich entspricht auf diese Weise genau einer -Matrix. Diesen Zusammenhang bezeichnet man auch als (kanonischen) Isomorphismus Er stellt bei vorgegebenem K, m, n eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar. Das Matrixprodukt geht hierbei über in die Komposition (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen. Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies dann auch für die Matrixmultiplikation, sie ist also assoziativ. Ist K sogar ein Körper, kann man statt der Spaltenvektorräume beliebige endlichdimensionale K-Vektorräume V und W (der Dimension n bzw. m) betrachten. (Falls K ein kommutativer Ring mit 1 ist, dann kann man analog freie K-Moduln betrachten.) Diese sind nach Wahl von Basen von V und von W zu Kn bzw. Km isomorph, weil zu einem beliebigen Vektor eine eindeutige Zerlegung in Basisvektoren existiert und die darin vorkommenden Körperelemente αj den Koordinatenvektor bilden. Jedoch hängt der Koordinatenvektor von der verwendeten Basis v ab, die daher auch in der Bezeichnung vu vorkommt. Analog verhält es sich im Vektorraum W. Ist eine lineare Abbildung gegeben, so lassen sich die Bilder der Basisvektoren von V eindeutig in die Basisvektoren von W zerlegen in der Form mit Koordinatenvektor Die Abbildung ist dann vollständig festgelegt durch die sog. Abbildungsmatrix denn für das Bild des o.g. Vektors u gilt also („Koordinatenvektor = Matrix mal Koordinatenvektor“). (Die Matrix wfv hängt von den verwendeten Basen v und w ab; bei der Multiplikation wird die Basis v, die links und rechts vom Malpunkt steht, „weggekürzt“, und die „außen“ stehende Basis w bleibt übrig.) Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen und (mit Basen v, w bzw. x) entspricht dabei der Matrixmultiplikation, also (auch hier wird die Basis w „weggekürzt“). Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von V nach W wieder isomorph zu . Der Isomorphismus hängt aber von den gewählten Basen v und w ab und ist daher nicht kanonisch: Bei Wahl einer anderen Basis v' für V bzw. w' für W wird derselben linearen Abbildung nämlich eine andere Matrix zugeordnet, die aus der alten durch Multiplikation von rechts bzw. links mit einer nur von den beteiligten Basen abhängigen invertierbaren - bzw. -Matrix (sog. Basiswechselmatrix) entsteht. Das folgt durch zweimalige Anwendung der Multiplikationsregel aus dem vorigen Absatz, nämlich („Matrix = Basiswechselmatrix mal Matrix mal Basiswechselmatrix“). Dabei bilden die Identitätsabbildungen eV und eW jeden Vektor aus V bzw. W auf sich selbst ab. Bleibt eine Eigenschaft von Matrizen unberührt von solchen Basiswechseln, so ist es sinnvoll, diese Eigenschaft auch basisunabhängig der entsprechenden linearen Abbildung zuzusprechen. Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretende Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix. Der Rang ist (falls K ein Körper ist) im angeführten Sinne basisunabhängig, und man kann somit vom Rang auch bei linearen Abbildungen sprechen. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, die dem Fall V = W entsprechen; sie bleibt unverändert, wenn derselbe Basiswechsel im Definitions- und Wertebereich durchgeführt wird, wobei beide Basiswechselmatrizen zueinander invers sind: In diesem Sinne ist also auch die Determinante basisunabhängig. Bearbeiten Umformen von Matrizengleichungen Speziell in den multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. im Matrizenkalkül durchgeführt. Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt, wobei jedoch die Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation sowie die Existenz von Nullteilern beachtet werden muss. Beispiel: Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung Gesucht ist der Lösungsvektor x eines linearen Gleichungssystems mit A als -Koeffizientenmatrix. Wenn die inverse Matrix A − 1 existiert, kann man mit ihr von links erweitern: und erhält die Lösung . Siehe auch: weitere Anwendungen Bearbeiten Spezielle Matrizen Bearbeiten Eigenschaften von Endomorphismen Die folgenden Eigenschaften quadratischer Matrizen entsprechen Eigenschaften von Endomorphismen, die durch sie dargestellt werden. Orthogonale Matrizen Eine reelle Matrix A ist orthogonal, wenn die zugehörige lineare Abbildung das Standard-Skalarprodukt erhält, das heißt wenn gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass A die Gleichung A − 1 = AT bzw. erfüllt. Diese Matrizen stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar. Unitäre Matrizen Sie sind das komplexe Gegenstück zu den orthogonalen Matrizen. Eine komplexe Matrix A ist unitär, wenn die zugehörige Transformation die Normierung erhält, das heißt wenn gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass A die Gleichung A − 1 = A * erfüllt; dabei bezeichnet A * die konjugiert-transponierte Matrix zu A. Fasst man den n-dimensionalen komplexen Vektorraum als 2n-dimensionalen reellen Vektorraum auf, so entsprechen die unitären Matrizen genau denjenigen orthogonalen Matrizen, die mit der Multiplikation mit i vertauschen. Projektionsmatrizen Eine Matrix ist eine Projektionsmatrix, falls A = A2 gilt, sie also idempotent ist, das heißt, die mehrfache Anwendung einer Projektionsmatrix auf einen Vektor lässt das Resultat unverändert. Eine idempotente Matrix hat keinen vollen Rang, es sei denn, sie ist die Einheitsmatrix. Beispiel: Es sei X eine -Matrix, und damit selbst nicht invertierbar. Dann ist die -Matrix idempotent. Diese Matrix wird beispielsweise in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet. Geometrisch entsprechen Projektionsmatrizen der Parallelprojektion entlang des Nullraumes der Matrix. Nilpotente Matrizen Eine Matrix N heißt nilpotent, falls eine Potenz Nk (und damit auch alle höheren Potenzen) die Nullmatrix ergibt. Bearbeiten Eigenschaften von Bilinearformen Im folgenden sind Eigenschaften von Matrizen aufgelistet, die Eigenschaften der zugehörigen Bilinearform entsprechen. Trotzdem können diese Eigenschaften auch für die dargestellten Endomorphismen eine eigenständige Bedeutung besitzen. Symmetrische Matrizen  Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist: AT = A Anschaulich gesprochen sind die Einträge symmetrischer Matrizen symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Beispiel: Symmetrische Matrizen entsprechen einerseits symmetrischen Bilinearformen: vTAw = wTAv, andererseits den selbstadjungierten linearen Abbildungen: Hermitesche Matrizen  Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon der symmetrischen Matrizen. Sie entsprechen den hermiteschen Sesquilinearformen und den selbstadjungierten Endomorphismen. Eine Matrix ist hermitesch oder selbstadjungiert, wenn gilt: A = A * . Schiefsymmetrische Matrizen  Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch oder auch antisymmetrisch, wenn gilt: − AT = A. Um diese Bedingung zu erfüllen muss die Hauptdiagonale in allen Stellen null sein; die restlichen Werte werden über die Hauptdiagonale gespiegelt und negiert. Beispiel: Schiefsymmetrische Matrizen entsprechen antisymmetrischen Bilinearformen: und antiselbstadjungierten Endomorphismen: Positiv definite Matrizen  Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform positiv definit ist, das heißt, wenn für alle Vektoren gilt: . Positiv definite Matrizen definieren verallgemeinerte Skalarprodukte. Ist die Bilinearform größer gleich Null, heißt die Matrix positiv semidefinit, analog kann eine Matrix negativ definit beziehungsweise semidefinit heißen, wenn die obige Bilinearform immer kleiner beziehungsweise kleiner gleich Null ist. Matrizen, die keine dieser Eigenschaften erfüllen, heißen indefinit. Bearbeiten Weitere Konstruktionen Konjugierte und Adjungierte Matrix Enthält eine Matrix komplexe Zahlen, erhält man die konjugierte Matrix, indem man ihre Komponenten durch die konjugiert komplexen Elemente ersetzt. Die adjungierte Matrix (auch hermitesch konjugierte Matrix) einer Matrix A wird mit A * bezeichnet und entspricht der transponierten Matrix, bei der zusätzlich alle Elemente komplex konjugiert werden. Adjunkte oder Komplementäre Matrix Die komplementäre Matrix adj(A) einer quadratischen Matrix A setzt sich aus deren Unterdeterminanten zusammen, wobei eine Unterdeterminante auch Minor genannt wird. Für die Ermittlung der Unterdeterminanten det(Aij) werden die i-te Zeile und j-te Spalte von A gestrichen. Aus der resultierenden -Matrix wird dann die Determinante det(Aij) berechnet. Die komplementäre Matrix hat dann die Einträge ( − 1)i + jdet(Aji). Diese Matrix wird manchmal auch als Matrix der Kofaktoren bezeichnet. Man verwendet die komplementäre Matrix beispielsweise zur Berechnung der Inversen einer Matrix A, denn nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gilt . Damit ist die Inverse , wenn . Bearbeiten Verallgemeinerungen Man könnte auch Matrizen mit unendlich vielen Spalten oder Zeilen betrachten. Diese kann man immer noch addieren. Um sie jedoch „multiplizieren“ (bzw. hintereinander ausführen) zu können, muss man zusätzliche Bedingungen an ihre Komponenten stellen (da die auftretenden Summen (unendliche) Reihen sind und nicht konvergieren müssen). Die genaueren Betrachtungen solcher Fragestellungen führten zur Entstehung der Funktionalanalysis, die diese Begriffe behandelt. Einen speziellen Fall bilden Vektoren im Hilbertraum, der z. B. für die Quantenmechanik wesentlich ist. Es sei (mit ) ein vollständiges Orthonormalsystem mit den gerade angedeuteten Einschränkungen. Dann erhält man eine Matrixdarstellung eines linearen Operators , z. B. eines linearen Differentialausdrucks mit Randbedingungen, wenn man die Matrixelemente definiert; dabei ist das Skalarprodukt im betrachteten Hilbertraum, und der Operator ist lediglich eine lineare Abbildung einer dichten Teilmenge dieses Raumes, also Man erhält so eine „Matrixdarstellung“ des betrachteten Operators. Das System der Eigenwerte dieser Matrix, in einer endlich-dimensionalen Approximation, umfasst approximativ auch eventuelle kontinuierliche Anteile des Spektrums dieser Operatoren (z. B. Orts- oder Impulsoperator), ähnlich wie ein Integral durch endliche Summen approximiert werden kann. Werden analog zu den Matrizen mathematische Strukturen mit mehr als zwei Indizes definiert, so nennt man diese Tensoren. Bearbeiten Literatur Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3. Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra: Mit Anwendungen in der Statistik. Springer, ISBN 978-3-540-33007-3. Gilbert Strang: Lineare Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-43949-3. Bearbeiten Weblinks  Wiktionary: Matrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen  Commons: Matrix – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien The Matrix Cookbook – Eine englischsprachige, umfangreiche Matrix-Formelsammlung (PDF; 522 kB)